Matemática da Regra de Três

REGRA DE TRÊS

É o dispositivo que contém operações que nos permite calcular um valor desconhecido entre grandezas direta ou inversamente proporcionais. Existem 2 tipos de regras de três:

A)Simples: quando o número de grandezas envolvidas é 2.

B)Composta: quando o número de grandezas envolvidas é superior a 2.

Regra de três simples:

Para resolver os problemas envolvendo regras de três simples, podemos seguir o seguinte roteiro:

1° Passo: fazer a disposição doa dados do problema, deixando indicada aquela grandeza pedida.

2º Passo: comparar as grandezas, verificando se são direta ou inversamente proporcionais.

3° Passo: montar a proporção, lembrando sempre que se as grandezas forem inversamente proporcionais, o produto é que será constante.

Exemplos:

1) Em uma fábrica, são gastos 50 minutos para fazer 270 metros de tecido?

Resolução:

1°Passo: dispondo as grandezas que aparecem no problema, temos que:

Tempo (min) Tecido(m)

50 270

X 810

2° Passo: No exercício dado, ao fazermos as comparações, concluímos que tempo e metros de tecido feitos são diretamente proporcionais, pois, se for aumentada a quantidade de tecido a ser feita, o tempo para tal também será aumentado.

3° Passo: Montar a proporção.

50 = 270 ; 270x = 50.810 ; x = 50.810 ; x = 150min x = 2h30min

x 810 270

2) Sabendo que 5 operários levam 2 horas para fazer um serviço, em quantas horas 8 operários, com a mesma capacidade que os primeiros, fariam o mesmo serviço?

Resolução:

1º Passo: montagem da tabela com os dados do problema.

Operários tempo (h)

5 2

8 x

2° Passo: comparação das grandezas.

Como estamos aumentando o número de pessoas trabalhando, é de se esperar que com o tempo necessário para a finalização do serviço seja menor: ou seja, “operários” e “tempo” são grandezas inversamente proporcionais. Pela tabela, podemos indicar que duas grandezas são inversamente proporcionais através de duas setas de sentidos contrários, como está indicado na figura.

3° Passo: As setas indicadas na tabela servem para a visualização da proporção a ser tomada. Ela poderá ser formada da seguinte maneira: montamos a proporção conservando a ordem dos termos onde a seta direcionada para cima e invertemos a ordem deles onde a seta está direcionada para baixo. Ou seja:

8 = 2 ; 8x = 10 ; x = 1h15min

5 x

3) Um parafuso, a cada 4 voltas, penetra 3,2 mm numa peça de madeira. Quantas voltas serão necessárias para que esse parafuso penetre 16 mm nessa madeira?

Resolução:

Para resolver podemos utilizar a regra de três como nos dois exemplos anteriores, mas também podemos pensar assim: se em 4 voltas, ele vai penetrar 3,2 mm na peça de madeira, em uma volta ele vai penetrar (3,2 : 4 = 0,8) mm. Logo, para penetrar 16,0 mm na madeira, ele vai dar (16:0,8=20) voltas. Conclusão, o parafuso vai dar 20 voltas.

A resolução por regra de três ficaria da seguinte maneira:

Voltas Distância (mm)

4 3,20

x 16,0

A proporção ficaria da seguinte forma:

4 = 3,2 ; 3,2x = 64 ; x = 20

x 16

Para penetrar 16 mm na madeira, o parafuso vai dar 20 voltas.

REGAR DE TRÊS COMPOSTA

Para facilitar a resolução de problemas envolvendo regra de três composta (com mais de duas grandezas), propomos o roteiro a seguir:

1º Passo: dispor os dados do problema na forma de uma tabela, iniciando com aquela grandeza que tem o valor a ser encontrado.

2º Passo: Comparar cada uma das grandezas dadas com aquela que apresenta a incógnita, verificando se elas são direta ou inversamente proporcionais. Podemos utilizar as setas para melhor visualização.

3º Passo: Formar a igualdade, de um lado colocando a grande que apresenta a incógnita, e do outro, o produto das demais grandezas, conservando a ordem das que forem inversamente proporcionais.

Exemplo:

Quatro operários trabalhando 8 horas por dia, gastam 6 dias para fazer um serviço. Quantas horas por dia devem trabalhar 6 operários para fazer o mesmo serviço em 8 dias?

Resolução:

1º Passo: Montagem da tabela com os dados do problema:

Horas/dia

Operários

dias

2º Passo: Comparação das grandezas com aquela que tem o dado que queremos encontrar. Pela comparação, temos que horas/dia e operários são inversamente proporcionais e horas/dia e dias são inversamente proporcionais.

3º Passo: Montar a proporção, conforme já foi dito:

8 = 6 8 ; x = 4 horas/dia.

x 4 6

Observação:

O terceiro passo tem por base uma propriedade de proporções que diz que se uma grandeza é proporcional a duas ou mais grandezas, tem-se que a primeira é proporcional ao produto dessas grandezas. Ou seja:

(x § a) e (x § b) = x § (ab)

Se a grandeza “a” é diretamente proporcional à grandeza “b” e inversamente proporcional à grandeza “c” então “a” será proporcional à razão b/c.

(a § b) e (a 1/§ c) = a § (b/c)

Questões:

1. Se em 10 minutos uma torneira lança 200 litros de água, quanto tempo levaria para lançar 60 decalitros?

2. Um menino percorre, de bicicleta. 7 km em 35 minutos, com velocidade constante. Aumentando essa velocidade de um quinto de seu valor, o tempo que leva, em minutos, para percorrer 12 km, é:

3. Uma roda de bicicleta tem 80 centímetros de diâmetro. Quando essa roda dá 400 voltas, à distância percorrida pela bicicleta em Km é aproximadamente: